A Duration de Macaulay diz onde fica o “centro de gravidade” dos fluxos de um título. A Duration Modificada diz quanto o PU muda quando a taxa se mexe. São parentes, mas não são a mesma coisa.
Macaulay: em média, quando eu recebo o dinheiro do título? Cada fluxo pesa pelo seu valor presente. É uma medida de tempo, em anos.
Modificada: se a taxa subir um pouquinho, quanto o PU cai, em %? É uma medida de sensibilidade.
Derive o PU em relação à taxa. Cada termo Fi(1+y)−ti vira −ti·Fi(1+y)−ti−1:
O (1+y) aparece porque o expoente desce um grau. Com capitalização exponencial anual (DU/252), essa é a relação exata.
Para estimar a variação do PU, use a Modificada: NTN-F com PU 1.000, DMod 3,70 e alta de 50 bp ⇒ ΔPU ≈ −3,70 × 1.000 × 0,005 = −R$ 18,51.
Usar a Macaulay direto (4,07) dá −R$ 20,36; usar o prazo (5 anos) dá −R$ 25,00. Os dois exageram a perda. A variação exata é −R$ 18,28.
Convenções desta animação: DU/252, capitalização exponencial, valor de face R$ 1.000,00. Para simplificar, cada semestre da NTN-F tem 126 DU.
Cada barra é um fluxo do título, com altura igual ao seu valor presente. O triângulo é o ponto onde a gangorra fica em equilíbrio: a Duration de Macaulay. Aperte ▶ Descontar e veja o ponto andar para a esquerda quando os fluxos nominais viram valor presente.
Passe o mouse (ou toque) sobre uma barra para ver o fluxo nominal e o valor presente daquele pagamento.
A curva mostra o PU do título para cada taxa. A reta tangente no ponto atual tem inclinação −DMod × PU: é a estimativa da Duration Modificada. Aplique um choque e compare a estimativa com o PU de verdade.
À esquerda, a Duration de Macaulay contra o prazo, para quatro cupons. A LTN (zero-cupom) é a diagonal: duration = prazo. À direita, a mesma duration contra a taxa. Aperte ▶ Subir a taxa e veja todas as curvas com cupom cederem.
Cinco questões. Os erros mais comuns estão entre as alternativas.