A Duration Modificada é uma reta; o PU é uma curva. A convexidade mede essa curvatura: corrige a estimativa para choques grandes e explica por que duas carteiras com a mesma duration podem reagir de forma diferente ao mesmo choque.
Na animação de Duration vimos que a tangente erra quando o choque é grande, e erra sempre para o mesmo lado: a curva PU × taxa fica acima da reta. A convexidade é a medida dessa curvatura, e entra como um segundo termo na estimativa:
Repare no (Δy)²: ao quadrado, o choque fica positivo, suba ou desça a taxa. Para quem está comprado no título, a convexidade é um termo a favor nos dois sentidos: na alta, a perda é menor do que a duration prevê; na queda, o ganho é maior.
Expanda o PU em torno da taxa atual: PU(y+Δy) ≈ PU + PU′·Δy + ½·PU″·Δy². Já sabemos que PU′ = −DMod·PU. Derivando de novo cada termo Fi(1+y)−ti:
Dividindo pelo PU, chega-se à convexidade. Ela é medida em “anos ao quadrado”, por isso os números parecem grandes (dezenas): o Δy² é que os traz de volta para a escala do PU.
NTN-F de 10 anos a 13% (PU 840,98; DMod 5,55; C 45,50), alta de 300 bp:
−5,55 × 840,98 × 0,03 + ½ × 45,50 × 840,98 × 0,03² = −139,98 + 17,22 = −R$ 122,76. O exato é −R$ 124,31.
Esquecer o ½ dá −R$ 105,54. Subtrair a convexidade “porque a taxa subiu” dá −R$ 157,20. Usar C · Δy (sem o quadrado) dá um número absurdo. O termo da convexidade é sempre somado para o comprador.
Para ver a convexidade agir sozinha, vamos comparar duas formas de aplicar R$ 1.000 com a mesma Duration Modificada (taxa de 13% a.a. para todos os títulos):
| Carteira | Composição | DMac | Convexidade |
|---|---|---|---|
| A · um título só | R$ 1.000,00 numa LTN de 5 anos | 5,00 | 23,49 |
| B · duas pontas | R$ 555,56 numa LTN de 1 ano + R$ 444,44 numa LTN de 10 anos | 5,00 | 39,16 |
Como a B é montada: a duration de uma carteira é a média das durations dos títulos, ponderada pelo valor aplicado. Com w na LTN de 10 anos e (1−w) na de 1 ano, basta resolver (1−w)·1 + w·10 = 5 ⇒ w = 4/9. As duas carteiras têm o mesmo ponto de equilíbrio, mas a B espalha o dinheiro para longe dele, e é isso que dá mais convexidade.
No mercado, uma carteira concentrada num vencimento é chamada de bullet e uma carteira com duas pontas, de barbell. Voltaremos a elas mais adiante no curso.
Convenções: DU/252, capitalização exponencial, face R$ 1.000,00; NTN-F com cupom de 10% a.a. e semestres de 126 DU (aproximação didática).
Mesma curva PU × taxa da animação de Duration, agora com duas estimativas: a reta (só duration) e a parábola (duration + convexidade). Aplique um choque e veja quanto do erro a convexidade elimina.
Em cima, o dinheiro de cada carteira na linha do tempo: as duas equilibram no mesmo ponto (mesma duration). Embaixo, a variação de valor de cada uma para cada choque paralelo. Aperte ▶ Varrer choques e acompanhe a distância entre as duas.
Se a carteira B ganhasse em qualquer choque, todo mundo a compraria, e os preços se ajustariam. Na prática, ela rende um pouco menos (um spread negativo). A curva abaixo mostra o retorno da B menos o da A ao fim do horizonte, para cada choque que acontecer logo no início. Aperte ▶ Aumentar o spread.
Pesos da B recalculados a cada spread para manter a DMod igual à da A. Choque paralelo aplicado no início e mantido até o horizonte; horizonte em meses de 21 DU. Retornos exatos (reprecificação), não aproximações.
Cinco questões. Os erros mais comuns estão entre as alternativas.